Δεν το έχω ξανακούσει το «επί το καθήκον», αλλά μάλλον είναι αντίστοιχο της φράσης «επί το έργον». Νομίζω πως πιο συνηθισμένη είναι η φράση «κατά την εκτέλεση του καθήκοντος».
Το δεύτερο είναι εντελώς άσχετο και ασφαλώς λανθασμένο γιατί θα έπρεπε να ήταν «επί τω καθήκοντι» αφού το άρθρο είναι στη δοτική.