διακριτοποίηση -> discretization, discretisation

spiros

  • Administrator
  • Hero Member
  • *****
    • Posts: 812078
    • Gender:Male
  • point d’amour
διακριτοποίηση -> discretization, discretisation

In applied mathematics, discretization is the process of transferring continuous functions, models, variables, and equations into discrete counterparts. This process is usually carried out as a first step toward making them suitable for numerical evaluation and implementation on digital computers. Dichotomization is the special case of discretization in which the number of discrete classes is 2, which can approximate a continuous variable as a binary variable (creating a dichotomy for modeling purposes, as in binary classification).

Discretization is also related to discrete mathematics, and is an important component of granular computing. In this context, discretization may also refer to modification of variable or category granularity, as when multiple discrete variables are aggregated or multiple discrete categories fused.

Whenever continuous data is discretized, there is always some amount of discretization error. The goal is to reduce the amount to a level considered negligible for the modeling purposes at hand.
https://en.wikipedia.org/wiki/Discretization

ar: التقطيع; en: discretization; es: discretización; et: diskreetimine; fa: گسسته‌سازی; fr: discrétisation; ja: 離散化; ko: 이산화; la: discretizatio; pl: dyskretyzacja; pt: discretização


The discretization of partial differential equations (PDEs) is a key step in their numerical solution, and therefore is one of the main issues in modern mathematics. The transition from continuous PDEs to their discrete counterparts can be done by various numerical methods, though not all methods are equally suitable; for this reason one should be careful to use an appropriate discretization method for each specific problem. In the first chapter it becomes clear, through the simple example of the logistic equation, that a naive discretization may dramatically change the nature of the problem and its solutions. Particular attention needs to be paid to the preservation (before and after the discretization) of the symmetries and invariant quantities of the problem. In the present work we study the case of the famous sine-Gordon equation, focusing on its soliton solutions. The second chapter presents a step-by-step derivation of the aforementioned equation. In the third chapter we show, by means of two different discretization schemes, which conditions must be met in order to guarantee that also the discrete system will admit soliton solutions. As is well known, soliton solutions are required to remain unchanged when they interact with each other, maintaining their speed and amplitude before and after the interaction. In the fourth chapter we summarize the conclusions of this work and draw a comparison between the two numerical schemes we have studied.


Η διακριτοποίηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ) αποτελεί κεντρικό βήμα στην αριθμητική τους επίλυση, και ως εκ τούτου είναι ένα από τα βασικά θέματα στα σύγχρονα μαθηματικά. Η μετάβαση από τη συνεχή ΜΔΕ στο αντίστοιχο διακριτό σύστημα μπορεί να γίνει με διάφορες αριθμητικές μεθόδους, ωστόσο δεν είναι όλες οι μέθοδοι εξίσου κατάλληλες και οφείλουμε πάντα να αναζητήσουμε την αρμόζουσα διακριτοποίηση για το εκάστοτε πρόβλημα. Στο 1ο κεφάλαιο γίνεται φανερό, μέσω του απλού παραδείγματος της λογιστικής εξίσωσης, πως μια αφελής διακριτοποίηση δύναται να αλλάξει δραματικά τη φύση του προβλήματος και των λύσεών του. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτεί η διατήρηση (πριν και μετά τη διακριτοποίηση) των συμμετριών και των αναλλοίωτων μεγεθών του προβλήματος. Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε την περίπτωση της εξίσωσης sine-Gordon, εστιάζοντας στις σολιτονικές της λύσεις. Στο 2ο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η εξίσωση αυτή. Στο 3ο κεφάλαιο μέσω δύο διαφορετικών μεθόδων διακριτοποίησης, δείχνουμε τί ακριβώς πρέπει να προσέξει κανείς έτσι ώστε να δέχεται και το διακριτό σύστημα σολιτονικές λύσεις. Ως γνωστόν οι σολιτονικές λύσεις οφείλουν να πληρούν την ιδιότητα να παραμένουν αναλλοίωτες, διατηρώντας την ταχύτητα και το πλάτος τους πριν και μετά την αλληλεπίδρασή τους. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά τα συμπεράσματα της παρούσας εργασίας ενώ συγκρίνουμε και τις δύο μεθόδους αριθμητικής επίλυσης που αναφέραμε.


https://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/handle/10889/8277


 

Search Tools